行列可交换矩阵上 $U$-统计量渐近行为的刻画

我们考虑行列可交换矩阵上的 $U$-统计量，这类矩阵对行和列的分别置换具有不变性，常见于二分数据。在标准的分离假设下，我们开发了一种针对行列可交换（RCE）依赖关系定制的、以图索引的 Hoeffding 分解类似物。我们提出了一种基于正交投影的新分解方法，投影到由 Aldous-Hoover-Kallenberg 变量集合生成的概率空间上。这些集合由二分图索引，使得能够应用图论概念来描述该分解。该框架为刻画行列可交换矩阵上的 $U$-统计量，特别是其渐近行为（包括退化情况），提供了新的见解。值得注意的是，极限分布仅依赖于分解中的特定项，这些项对应于由最小图（即主支撑图）索引的非零分量。我们证明，一个 $U$-统计量的渐近行为由其主支撑图的性质所刻画。这些图中的节点数（主度数）决定了收敛到极限分布的速率，当且仅当此数严格大于 1 时发生退化。此外，当主支撑图连通时，即使在退化情况下，极限分布也是高斯的。对网络分析的应用说明了这些发现。