非可解群中对合的特征类

设 $G,D_{0},D_{1}$ 为有限群，使得 $D_{0}\trianglelefteq D_{1}$ 是 $G$ 的自同构群且包含 $G$ 的内自同构。假设 $D_{1}/D_{0}$ 具有正规 $2$-补，且 $D_{1}$ 在 $G$ 的 $D_{0}$-对合共轭类集合上无不动点作用（即对每个对合 $a\in G$ 有 $C_{D_{1}}(a)D_{0}<D_{1}$）。我们证明 $G$ 是可解的。我们还构造了一个非可解有限群，其不具有非平凡循环子群的特征共轭类。这表明为保证 $G$ 的可解性必须对上述 $D_{1}/D_{0}$ 的结构作出假设，并且对 Kourovka 笔记中由 A. I. Saksonov 于 1969 年提出的问题 3.51 给出了否定回答。