从 Blackwell 测度视角看信道极化

每个无记忆二进制输入信道（BIC）均可由其 Blackwell 测度唯一描述，该测度是单位区间 $[0,1]$ 上均值为 $1/2$ 的概率分布。反之，任何此类概率分布都定义一个 BIC。针对一般 BIC，推导了 Arikan 极化变换下 Blackwell 测度的演化，其与文献中引用的密度演化类似。本分析强调函数方程。由此刻画了多种信道泛函的演化，包括对称容量、Bhattacharyya 参数、信息密度矩、Hellinger 亲和度、Gallager 可靠性函数、Hirschfeld-Gebelein-Renyi 最大相关以及贝叶斯信息增益。针对对称 BIC，根据其分解为二进制对称（子）信道（BSC）的特性对测度演化进行专门处理，从而简化迭代计算与极化码的构造。借助 Blackwell--Sherman--Stein 定理验证了：所有可表示为关于信道 Blackwell 测度的凸函数 $f$ 之期望的信道泛函 $\mathrm{I}_f$，由于对称 BIC 类上的极化变换，在每次迭代中均发生极化。此外，对于凸或非凸的 $f$，建立了判定与每个 $\mathrm{I}_f$ 相关联的随机过程是鞅、下鞅还是上鞅的充要条件。该条件通过关于 $f$ 的函数不等式表示，对所有 $\mathrm{I}_f$ 均可数值验证，并能生成解析证明。为展示此类证明之一，我们证明了与平方最大相关参数相关联的随机过程是上鞅，并在单位区间 $[0,1]$ 上几乎必然收敛。