(t,s)-序列的中心极限定理, I

设 $(X_n)_{n \geq 0}$ 为基 $2$ 的数字 $(t,s)$-序列，$\mathcal{P}_m =(X_n)_{n=0}^{2^m-1}$，并令 $D(\mathcal{P}_m, Y )$ 为 $\mathcal{P}_m$ 的局部偏差。令 $T \oplus Y$ 为 $T$ 与 $Y$ 的数字加法，并令 $$\mathcal{M}_{s,p} (\mathcal{P}_m) =\Big( \int_{[0,1)^{2s}} |D(\mathcal{P}_m \oplus T , Y ) |^p \mathrm{d}T \mathrm{d}Y \Big)^{1/p} .$$ 在本文中，我们证明对于 $m \rightarrow \infty$，$D(\mathcal{P}_m \oplus T , Y ) / \mathcal{M}_{s,2} (\mathcal{P}_m)$ 弱收敛于标准高斯分布，其中 $T,Y$ 为 $[0,1)^s$ 上均匀分布的随机变量。此外，我们证明 \begin{equation} \nonumber \mathcal{M}_{s,p} (\mathcal{P}_m) / \mathcal{M}_{s,2} (\mathcal{P}_m) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} |u|^p e^{-u^2/2} \mathrm{d}u \quad {\rm for} \;\; m \to \infty , \;\; p>0. \end{equation}