frame 完备化与并规范的范畴

给定偏序集 $P$，其并规范 $\mathcal U$ 是 $P$ 的一组子集的集合，这些子集的并均已定义。在 $\mathcal U$ 中集合的并下封闭的下集集合 $\mathcal I_{\mathcal U}$ 构成一个完备格，并且在某种意义上，是 $P$ 的自由 $\mathcal U$-保并完备化。本文的主要目标是处理两个问题。第一，给定并规范 $\mathcal U$，何时 $\mathcal I_{\mathcal U}$ 是一个 frame？第二，给定偏序集 $P$，其生成 frame 的并规范集合的结构是什么？为回答第一个问题，我们给出若干等价条件，并用它们来研究第二个问题。特别地，我们证明 $P$ 的生成 frame 的并规范集合在包含关系下构成一个完备格，并描述了它的交和并运算。对于依自然定义的“极大”此类并规范集合，我们也做了同样的工作。我们还从这些视为范畴的格定义函子到适当定义的 $P$ 的 frame 完备化范畴，并构造了它们的右伴随。