信息几何与机器学习的 Cartan-Schouten 度量

我们研究了 Cartan-Schouten 度量，探讨了其不变双连结，并将其作为信息几何的模型。基于 Riemannian 重心和 Lie 群的 biinvariant 均值，我们随后提出了一种新的参数均值，用于数据科学和机器学习，相对于诸如算术平均数、中位数、众数、期望、最小二乘方法、最大似然估计和线性回归等传统工具具有若干优势。我们称度量为 Cartan-Schouten 度量，如果其 Levi-Civita 连结是 biinvariant 的，即通过单位的每个 1 参数子群都是测地线。除了一般情况下不具有左或右不变性之外，Cartan-Schouten 度量拥有与 biinvariant 度量相同的几何结构，因为它们共享相同的 Levi-Civita 连结。为规克非不变性显著的缺点，我们证明了 Cartan-Schouten 度量完全由其在单位处的值决定。我们给出了从其在单位处的值恢复其的显式公式，从而使其在计算上远远低于一般流形上的度量。此外，具有 Cartan-Schouten 度量的 Lie 群是完整的 Riemannian 或 pseudo-Riemannian 流形。我们给出了具有 Riemannian 或 Lorentzian Cartan-Schouten 度量的 Lie 群的完整特征。Cartan-Schouten 度量在 2-可逆 Lie 群中十分常见。也就是说，在每个 2-可逆 Lie 群上，左不变度量的集合与 Cartan-Schouten 度量的集合之间存在 1-1 对应关系。