带部分反馈的猜牌问题

考虑如下实验：一副含有 $n$ 种不同牌型各 $m$ 张的牌被随机洗牌，猜测者试图在牌被依次抽出时顺序猜测它们。每次猜测后，会给出一定量的“反馈”。例如，可以告诉猜测者其刚猜过的牌的真实身份（完全反馈模型），或完全不告知（无反馈模型）。本文中我们探讨一种部分反馈模型，即猜测一张牌后，仅告知猜测者其猜测是否正确。我们证明在此设定下，对一致的 $n$，期望中至多可猜对 $m+O(m^{3/4}\log m)$ 张牌。这解决了 Diaconis 与 Graham 于 1981 年提出的一个问题，其中即便 $m=2$ 的情形也是未解决的。