通过在 $n$ 维球面上积分计算精确估计量

本文重新探讨了在已知观测项集 $\{m_i\}$ 分布于 $n$ 个箱中且落入第 $i$ 个箱的概率为未知集 $\{p_i\}$ 的情况下，计算概率期望集 $<p_i>$ 的问题。该问题通常利用贝叶斯定理和多项分布，并结合 $p_i$ 值的常数先验进行表述，从而导出 $\{p_i\}$ 的 Dirichlet 分布。随后可以精确计算 $p_i$ 的矩。此处提出了一种计算矩的新方法，该方法通过变量代换将问题简化为在 $n$ 维球面部分表面上的积分。这种方法极大地简化了计算，允许对 $(n-1)$ 个独立变量进行直接积分，同时自动满足对 $p_i$ 集的约束。对于 Dirichlet 分布及类似分布，问题进一步简化，所得积分随后可分解，从而便于用 Beta 函数进行求值。归纳法证明证实了现有的矩计算结果。本文所提方法的优势在于，其方法和结果只需极少修改甚至无需修改即可应用于涉及更复杂分布或非常数先验分布的数值计算，而这些情况下的数值计算将得到极大简化。