$C[0,1]$ 中关于 Haar 零集的 Bruckner--Garg 型结果

若存在 Borel 集 $\mathcal{B}\subset C[0,1]$ 和 $C[0,1]$ 上的 Borel 概率测度 $\mu$，使得 $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$ 且对所有 $f \in C[0,1]$ 满足 $\mu\left(\mathcal{B}+f\right) = 0$，则称集合 $\mathcal{A}\subset C[0,1]$ 为\emph{shy} 或\emph{Haar 零集}（按 Christensen 的定义）。shy 集的补集称为\emph{prevalent} 集。若一个集合既非 shy 也非 prevalent，则称其为\emph{Haar 矛盾集}。本文的主要目标是回答以下问题：对于 $C[0,1]$ 中大多数 prevalent/non-shy 函数 $f$，其水平集的拓扑性质如何？经典的 Bruckner--Garg 定理从拓扑角度刻画了 $C[0,1]$ 中一般（按 Baire 范畴意义）函数 $f$ 的水平集。我们证明，满足相同刻画条件的函数 $f\in C[0,1]$ 构成一个 Haar 矛盾集。在早期的一篇论文中，我们证明了关于 Lebesgue 测度 $\lambda$ 拥有正测度个单点水平集的函数 $f\in C[0,1]$ 构成 $C[0,1]$ 中的一个 non-shy 集。上述结果表明该集合实际上是 Haar 矛盾集。现在我们证明，关于占有测度 $\lambda\circ f^{-1}$ 拥有正测度个非完美水平集的函数 $f\in C[0,1]$ 构成 $C[0,1]$ 中的一个 Haar 矛盾集。我们表明，对于 prevalent 的 $f\in C[0,1]$，对于一般的 $y\in f([0,1])$，水平集 $f^{-1}(y)$ 是完美的。最后，通过证明存在完美集 $P_f\subset [0,1]$ 使得对所有 $x \in P_f$ 均有 $f'(x) = \infty$ 的函数 $f \in C[0,1]$ 的集合是 Haar 矛盾集，我们回答了 Darji 和 White 提出的问题。