秩2量子丛代数中的断线与相容对

在丛代数中，已有多种普遍正基的组合构造，这些组合对象在丛代数著名的正性猜想的已知证明中起着关键作用。Lee-Li-Zelevinsky利用Dyck路径上的相容对构造了秩$2$的贪婪基。Gross-Hacking-Keel-Kontsevich引入的theta基，其元素表示为散射图上断线的和。Cheung-Gross-Muller-Musiker-Rupel-Stella-Williams通过代数方法证明了这些基在秩$2$中重合，并提出了一个开放问题：通过构造相容对与断线之间的（加权）双射来给出组合证明。我们为量子$A_2$型和量子Kronecker丛代数构造了相容对与断线之间的量子加权双射。通过特化量子参数，这解决了Cheung等人关于有限型和仿射型斜对称丛代数的问题。对于斜对称秩$2$丛代数中的丛单项式，我们构造了正相容对（几乎包含所有相容对）与负角动量断线之间的量子加权双射。