桥深度刻画了顶点覆盖的哪些结构参数化允许多项式核

我们研究了顶点覆盖问题结构参数化的核化复杂性。其目标是找到一个多项式时间预处理算法，可将顶点覆盖问题的任意实例 $(G,k)$ 归约为一个等价的实例，其大小是关于 $G$ 的预定复杂性参数的多项式。先前大量研究致力于基于将 $G$ 归约为某个简单图类 $\mathcal{F}$（如森林、有界树深度图、最大度数为二的图）所需的顶点删除数的参数化。我们着手寻找最一般的图类 $\mathcal{F}$，使得以输入图到 $\mathcal{F}$ 的顶点删除距离为参数的顶点覆盖问题允许多项式核化。我们给出了存在此种核化的闭minor图族 $\mathcal{F}$ 的完整刻画。我们引入了一种称为桥深度（bridge-depth）的新图参数，并证明多项式核化存在当且仅当 $\mathcal{F}$ 具有有界桥深度。该证明基于桥深度与图中极小阻塞集大小之间的有趣联系，后者是指删除后独立数减小的顶点集。