相对近正则性下的 Bregman 邻近映射与 Bregman-Moreau 包络

我们系统地研究了在非凸函数的相对近正则性（prox-regularity 的一种推广，最初由 Poliquin 和 Rockafellar 引入）下，Bregman 邻近映射的局部单值性以及 Bregman–Moreau 包络的局部光滑性。由于 Bregman 距离一般是非对称的，按照 Bauschke 等人的做法，自然地考虑 Bregman 邻近映射的两种变体，根据自变量顺序分别称为左 Bregman 邻近映射和右 Bregman 邻近映射。我们首先考虑左 Bregman 邻近映射，然后通过平移结果，得到右 Bregman 邻近映射的类似（且部分尖锐的）结果。相对近正则函数类显著推广了最近考虑的相对次凸函数类。特别地，相对近正则性允许函数具有可能非凸的定义域。此外，作为主要例子来源并类比经典情形，我们引入了相对适宜函数，即可凸组合函数，其内层非线性映射是分量级光滑可适应的（smooth adaptable，最近引入的 Lipschitz 可微性的推广）。作为示例，我们将理论应用于局部地将带邻近正则化的联合交替 Bregman 最小化解释为应用于光滑可适应函数的 Bregman 邻近梯度算法。