Bregman水平邻近次微分与Bregman邻近算子的新刻画

在缺乏凸性的情况下，变分分析中的经典次微分可能无法完全表示Bregman邻近算子。本文通过引入左、右Bregman水平邻近次微分来填补这一空白，并对其进行系统研究。结果表明，即使在非凸情况下，只要满足标准值域假设，每个Bregman邻近算子都是某个Bregman水平邻近次微分的预解式。借助这一优良特性，我们在Bregman邻近算子、底层函数以及（左）Bregman水平邻近次微分的有用性质之间建立了新的对应关系，推广了欧几里得情形下的经典等价关系。与经典设置不同，不对称性和对偶间隙作为Bregman距离的自然结果而出现。在此过程中，我们改进了Kan和Song以及Wang和Bauschke关于Bregman邻近算子的结果。我们还刻画了Bregman水平邻近次微分的单值性与存在性，研究了重合结果，并建立了与相对光滑性的有趣联系。提供了丰富的例子以证明我们假设的必要性。我们还引入了各向异性稳固非扩张性这一新概念，它与Bregman稳固非扩张性互补，并被证明可通过梯度和邻近算子的性质来刻画相对光滑凸函数及其凸包络。