广度优先深度后继：低直径树的最优协作探索

我们考虑由 Fraigniaud、Gasieniec、Kowalski 和 Pelc 提出的协作树探索问题，其中 $k$ 个智能体组成的团队需尽快集体遍历一棵未知树的所有边。以 $n$ 表示节点总数、$D$ 表示树深度，Fraigniaud 等人的 $\mathcal{O}(n/\log(k)+D)$ 算法相对于离线探索代价（为 $\Theta(\max{\{2n/k,2D\}}$）取得了已知最佳的竞争比。Brass、Cabrera-Mora、Gasparri 和 Xiao 考虑了另一种性能准则，即相对于 $2n/k$ 的加性开销，并获得了 $2n/k+\mathcal{O}((D+k)^k)$ 的运行时间保证。本文中，我们引入“广度优先深度后继”（BFDN），一种新颖且简单的算法，可在 $2n/k+\mathcal{O}(D^2\log(k))$ 时间内完成协作树探索，从而在所有 $(n,D)$ 取值下优于 Brass 等人，且对所有深度 $D=o_k(\sqrt{n})$ 的树为阶最优。此外，Disser 等人的近期结果意味着不存在能达到 $2n/k+\mathcal{O}(D^{2-\epsilon})$ 运行时间保证的探索算法。我们界中对 $D^2$ 的依赖在此意义下是最优的。我们结果的证明关键依赖于对一个关联双人游戏的分析。我们将 BFDN 的保证扩展至：有限内存与通信的场景、智能体可被阻挡的对抗性设定，以及非树图类的探索。最后，我们提供了 BFDN 的递归版本，对参数 $\ell\ge 1$ 具有 $\mathcal{O}_\ell(n/k^{1/\ell}+\log(k) D^{1+1/\ell})$ 的运行时间，从而改进了深树上的性能。