可分解序列上 GREEDY 二叉搜索树的改进分析

在开创性论文 [Sleator and Tarjan, J.ACM, 1985] 中，作者猜想伸展树是动态最优二叉搜索树（BST）。尽管经过数十年的深入研究，该问题仍未解决。或许一个更基本且同样备受关注的问题是，是否存在任何动态最优 BST 算法。一个这样的候选是 GREEDY，这是一种简单直观的 BST 算法 [Lucas, Rutgers Tech. Report, 1988; Munro, ESA, 2000; Demaine, Harmon, Iacono, Kane and Patrascu, SODA, 2009]。[Demaine et al., SODA, 2009] 展示了与几何问题的新联系。由于最一般形式的动态最优性猜想尽管付出诸多努力仍难以捉摸，研究人员研究了特殊序列上的该问题。最近，[Chalermsook, Goswami, Kozma, Mehlhorn and Saranurak, FOCS, 2015] 在此背景下研究了一类称为 $k$-可分解序列的序列，其中 $k$ 参数化序列的容易程度。利用禁忌子矩阵理论工具，他们证明了 GREEDY 在该序列上花费 $n2^{O(k^2)}$ 时间，并明确提出了改进此界限的问题。在本文中，我们证明 GREEDY 在 $k$-可分解序列上花费 $O(n \log{k})$ 时间。与先前方法相反，我们的方法基于第一性原理。我们结果的主要组成部分之一是对任何算法性能的下界证书的新构造。该证书使用 GREEDY 的执行来构造，并且比 Demaine 等人的先前独立集证书更细致且可能更灵活。这一适用于所有序列的结果可能具有独立意义，并可能促使在分析 $k$-可分解以及一般序列上的 GREEDY 方面取得进一步进展。