能量受限的深度优先搜索

深度优先搜索是一种自然的算法技术，用于构造访问图所有顶点的闭合路线。在边加权树中，此类路线的长度等于树中所有边总权重的两倍，并且在所有探索策略中这是渐近最优的。本文考虑此类搜索策略的一种变体，其中每条路线的长度受限于一个正整数 $B$（例如由于搜索者的有限能量资源）。目标是以最少的路线数覆盖树 $T$ 的所有边，每条路线均从根节点出发并结束于根节点，且长度最多为 $B$。为此，我们分析了以下自然的贪婪树遍历过程，该过程基于将深度优先搜索遍历分解为一系列长度受限的路线。给定树 $T$ 的任意深度优先搜索遍历 $R$，我们用路线 $R_1,\ldots,R_l$ 覆盖 $R$，每条路线长度最多为 $B$，满足：$R_i$ 从根节点出发，直接到达 $R_{i-1}$ 所访问的 $R$ 的最远点，然后 $R_i$ 沿着路径 $R$ 尽可能远地继续，最后 $R_i$ 返回根节点。我们将上述算法称为 \emph{piecemeal-DFS}，并证明无论 $R$ 如何选择，它都能达到渐近最少的路线数 $l$。我们的分析还表明，piecemeal-DFS 的总遍历长度（从而遍历时间）在所有能量受限的探索策略中是渐近最小的。$R$ 可以任意选择意味着当输入树 $T$ 未知时，探索策略可以以在线方式构造。令人惊讶的是，我们的结果表明，深度优先搜索对于树的能量受限探索是高效的，尽管已知同样的结论并不适用于任意图的能量受限探索。