环面上的分支交织与树索引随机游走

我们针对一般临界 offspring 分布引入一种分支交织模型。它由 $Z^d,d\geq5$ 上一可数无穷的树索引随机游走轨迹集合构成。我们证明该模型恰为离散环面上树索引随机游走在条件为大小正比于环面体积时的局部极限。这推广了 Angel、R\'{a}th 及作者先前针对临界几何 offspring 分布的结果。我们的模型也将 Sznitman 引入的随机交织模型作为退化情形包含在内。为获得局部收敛，我们建立了将大随机树分解为小随机树、围绕预设顶点的随机树局部极限，以及环面中给定大小的树索引随机游走对一集合访问概率的渐近等结果。这些辅助结果本身亦具趣味。作为另一应用，我们证明当 $d\geq5$ 时，边长为 $N$ 的 $d$ 维环面被树索引随机游走的覆盖时间集中于 $N^d log N^d/\mathrm{BCap}(\{0\})$。