环面上停止随机游动轨迹的交织极限

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$ 上始于原点并在首次离开 $(-L,L)^d \cap \mathbb{Z}^d$ 时停止的简单随机游动。将 $L$ 写为 $L = m N$ 的形式，其中 $m = m(N)$ 且 $N$ 为一趋于无穷的整数，使得对某个实常数 $A > 0$ 有 $L^2 \sim A N^d$。我们的主要结果是，对 $d \ge 3$，停止轨迹到 $N$-环面上的投影在远离原点处局部收敛于水平为 $A d \sigma_1$ 的交织过程，其中 $\sigma_1$ 是一个布朗运动离开单位立方体 $(-1,1)^d$ 的离开时间，且独立于该交织过程。上述问题是对 Windisch (2008) 与 Sznitman (2009) 结果的一个变体。