分支 Itô 公式与自然 Itô-Stratonovich 同构

分支粗糙路径，定义为在 Connes-Kreimer Hopf 代数 $\mathcal{H}_\mathrm{CK}$ 的特征群中取值的路径，构成了可能不满足通常分部积分恒等式的积分理论。利用关于 $\mathcal{H}_\mathrm{CK}$ 的原始元素的已知结果，我们可以将其视为一个交换的 cofree Hopf 代数（即一个交换的 $\mathbf{B}_\infty$-代数），从而为粗糙微分方程的解写出一个显式的变量替换公式。这个公式在半鞅的特殊情况下退化为众所周知的 Itô 公式。此外，我们在 $\mathcal{H}_\mathrm{CK}$ 与其原始元上的 shuffle 代数之间建立了一个同构，它扩展了拟 shuffle 代数的 Hoffman 指数，因此可以被视为通常的半鞅 Itô-Stratonovich 修正公式的一个意义深远的推广。事实上，这可以表述为任何交换 $\mathbf{B}_\infty$-代数的代数结构的一个刻画。与先前的方法相比，这种变换的关键性质在于它在装饰向量空间中是自然的。我们通过引入 Kailath-Segall 多项式和 Doléans-Dade 指数的分支类似物，更仔细地研究了一维情况，并以一些不是拟几何的随机过程的分支粗糙路径提升的例子作为结尾。