离散采样信号与粗糙 Hoff 过程

我们引入了一种规范方法，将离散序列数据集转换为由 lead-lag 增量组成的关联 rough path。特别地，通过对 $d$ 维连续半鞅 $X:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^d$ 在一组时间 $D=(t_i)$ 上进行采样，我们构造了一个分段线性、轴向的 $X^D: [0,1] \rightarrow\mathbb{R}^{2d}$ 过程，由过去和未来分量组成。我们将这样的对象称为与离散数据 $\{X_{t}\}_{t_i\in D}$ 关联的 Hoff 过程。Hoff 过程可以被提升为其自然的 rough path enhancement，并且我们考虑了随着采样频率增加的收敛问题。我们证明了 It\^{o} 积分可以从由 $X^D$ 的分量驱动的随机 ODE 序列中恢复。这与经典 Wong-Zakai 定理所建议的通常 Stratonovich 积分极限形成对比。此类随机 ODE 在数理金融学背景下具有自然的解释。