$q/(q-1)$ 信道零错误列表译码容量的界

我们考虑确定 Elias (1988) 所研究的 $q/(q-1)$ 信道的零错误列表译码容量问题。$q/(q-1)$ 信道的输入和输出字母表由 $q$ 个符号组成，记为 $Q = \{x_1,x_2,\ldots, x_q\}$；当信道接收到输入 $x \in Q$ 时，它输出一个除 $x$ 本身以外的符号。令 $n(m,q,\ell)$ 为最小的 $n$，使得存在一个大小为 $m$ 的码 $C \subseteq Q^n$，对于 $C$ 中任意 $\ell+1$ 个互不相同的码字组成的列表 $w_1, w_2, \ldots, w_{\ell+1}$，存在一个坐标 $j \in [n]$ 满足 $\{w_1[j], w_2[j], \ldots, w_{\ell+1}[j]\} = Q$。我们证明对于 $\epsilon<1/6$，对所有足够大的 $q$ 和足够大的 $m$，有 $n(m,q, \epsilon q\ln{q}) \geq \Omega(\exp{(q^{1-6\epsilon}/8)}\log_2{m})$。Fredman 和 Koml\'{o}s (1984) 针对完美哈希所得的下界意味着 $n(m,q,q-1) = \exp(\Omega(q)) \log_2 m$；类似地，K\"{o}rner (1986) 针对近完美哈希所得的下界意味着 $n(m,q,q) = \exp(\Omega(q)) \log_2 m$。这些结果表明，列表大小至多为 $q$ 的 $q/(q-1)$ 信道零错误列表译码容量是指数级小的。Chakraborty 等人 (2006) 推广这些界，证明即使列表大小允许大到 $1.58q$，容量仍是指数级小的。我们的结果意味着，对于 $\epsilon<1/6$，列表大小为 $\epsilon q$ 的 $q/(q-1)$ 信道零错误列表译码容量为 $\exp{(\Omega(q^{1-6\epsilon}))}$。这解决了 Chakraborty 等人 (2006) 关于更大列表尺寸下 $q/(q-1)$ 信道零错误列表译码容量的猜想。