大字母表上极化码的近最优有限长度缩放

对于任意素数幂 $q$，Mori和Tanaka引入了基于 $q\times q$ Reed-Solomon极化核的 $q$ 进制极化码族。对于在 $q$ 进制删除信道上的传输，他们还推导了每个有效信道删除概率的闭式递推式。本文中，我们利用该表达式分析这些码在删除概率 $\epsilon\in(0,1)$ 的 $q$ 进制删除信道上的有限长度缩放。主要结果是，对于任意 $\gamma>0$ 和 $\delta>0$，存在 $q_{0}$ 使得对所有 $q\geq q_{0}$，删除率至多 $N^{-\gamma}$ 的有效信道比例至少为 $1-\epsilon-O(N^{-1/2+\delta})$，其中 $N=q^{n}$ 为块长度。由于该比例不能大于 $1-\epsilon-O(N^{-1/2})$，这确立了该码族的近最优有限长度缩放。我们的方法可视为Hassani、Alishahi和Urbanke对二进制极化码类似分析的扩展。对具有 $m\times m$ 极化矩阵的 $q$ 进制极化码也考虑了类似分析。这将字母表大小的影响与矩阵大小的影响分离。若每一级的极化矩阵独立且均匀地取自可逆 $m\times m$ 矩阵集合，则与李雅普诺夫函数分析相关的线性算子可闭式写出。然而，为了证明固定 $q$ 时随 $m$ 增加的极化码近最优缩放，仍存在两个技术障碍。因此，我们以陈述两个具体数学猜想作结，若得证，将意味着固定 $q$ 时的近最优缩放。