可测空间上实值非负核的谱半径界

在这篇简短的技术笔记中，我们将最近发表的一项关于非负矩阵的 Perron 根（或谱半径）的结果 [Liao2017] 推广到任意可测空间 $(\mathrm{E}, \mathcal{E})$ 上的实值非负核。确切地说，对于任意实值非负核 $K : \mathrm{E}\times \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{R}$，我们证明 $K$ 的谱半径 $\rho(K)$ 满足 $$\inf_{x \in \mathrm{E} } \frac{ \mathcal{R} K \cdotp L (x) }{ \mathcal{R} L (x) } \le \rho(K) \le \sup_{x \in \mathrm{E} } \frac{ \mathcal{R} K\cdotp L (x) }{ \mathcal{R} L (x) },$$ 其中 $L$ 是 $(\mathrm{E}, \mathcal{E})$ 上的任意核，关于 $K$ 的左特征测度可积，且对所有 $x \in \mathrm{E}$ 满足 $\mathcal{R} L (x) >0$，算子 $\mathcal{R}$ 定义为 $\mathcal{R}L (x) :=\int_{\mathrm{E}} L(x, \mathrm{d}y)$。