长度为 $\omega^k$ 的有限像序列的界

给定一个良拟序 $X$ 和一个序数 $\alpha$，如 Nash-Williams 所证明，$X$ 上长度小于 $\alpha$ 且像有限的超限序列构成的集合 $s^F_\alpha(X)$ 也是一个良拟序。然而，在 Nash-Williams 对一般 $\alpha$ 给出证明之前，Erd\H{o}s 和 Rado 已对 $\alpha<\omega^\omega$ 的情形给出了证明。本文重新审视 Erd\H{o}s 和 Rado 的证明并加以改进，利用它得到了 $s^F_{\omega^k}(X)$ 的极大线性化关于 $k$ 和 $o(X)$ 的上界，其中 $o(X)$ 表示 $X$ 的极大线性化。我们证明，对于固定的 $k$，$o(s^F_{\omega^k}(X))$ 的上界是一个大致可描述为关于 $o(X)$ 的 $(k+1)$ 重指数函数。我们还证明，对于 $k\le 2$，该界已接近紧确。