Torsion Bounds and an Effective Theorem of the GCD

我们证明了Deligne关于GCD（greatest common divisor）的有效、概率性版本。该结果适用于定义在有限域F_q上的一个光滑、射影、几何积分（geometrically integral）nice variety X_0 \subset \mathbb{P}^{N}，其维数为n，次数为D，通过在数域K上的一个nice variety \mathcal{X}_0的良好约化在素数\mathfrak{p}\subset \mathcal{O}_{K}处获得。主要技术包括对\mathcal{X}_0的Betti上同调中的torsion进行上界，以及关于模--\ell大单性结果和在表示中与vanishing cycles鞣层相关联的Frobenius的均匀分布。