正特征中的非分歧 F-可分对象与 étale 基本 pro-群胚

固定一个特征为 $p$ 的概形 $S$。设 $\mathscr{M}$ 为 $S$-代数栈，并设 $\mbox{Fdiv}(\mathscr{M})$ 为 $\mbox{F}$-可分对象栈，即满足存在同构 $\sigma_i:x_i\to \mbox{F}^*x_{i+1}$ 的对象序列 $x_i\in\mathscr{M}$。设 $\mathscr{X}$ 为平坦、有限呈现的 $S$-代数栈，$\mathscr{X}\to \Pi_1(\mathscr{X}/S)$ 为本文中构造的 étale 基本 pro-群胚。我们证明，若 $\mathscr{M}$ 为拟分离的 Deligne-Mumford 栈且 $\mathscr{X}\to S$ 具有几何约化纤维，则存在栈的双函子同构 $$\mathscr{H}\!om(\Pi_1(\mathscr{X}/S),\mathscr{M}) \simeq \mathscr{H}\!om(\mathscr{X},\mbox{Fdiv}(\mathscr{M})).$$ 特别地，相对弗罗贝尼乌斯态射系统 $\mathscr{X}\to \mathscr{X}^{p/S}\to \mathscr{X}^{p^2/S}\to\dots$ 允许恢复连通分支空间 $\pi_0(\mathscr{X}/S)$ 和相对 étale 基本 gerbe。为获得这些结果，我们研究了特征 $p$ 下代数的相对完美化的存在性与性质。