Bogoyavlensky 格与广义 Catalan 数

我们研究 Bogoyavlensky 格中单位阶跃形式初值数据的衰减问题。与 KdV 方程初值间断衰减的 Gurevich--Pitaevskii 问题不同，该问题恰好可解，因为其动力学由于半直线上终止而可线性化。答案用广义超几何函数表示，这些函数作为广义 Catalan 数的指数型生成函数。这可由如下事实证得：这些数的广义 Hankel 行列式等于 1，这是组合学中一个已知结果。另一种方法基于与非自治对称约化相一致且兼容动力学的方法。它将格方程约化为有限维系统，并使得对更一般的有限参数族初值数据求解该问题成为可能。