实时形式中的 Bogoliubov 变换与热算符表示

早前的研究 \cite{brandt,brandt1} 已表明，在混合空间中，任意有限温度图与其零温度对应图之间通过一携带全部温度依赖性的乘性标量算符（称为热算符）存在一种出乎意料的简单关系。这被证明仅在虚时间形式以及实时形式的闭合时间路径（$\sigma=0$）（及其共轭 $\sigma=1$）中成立。我们从更基础的 Bogoliubov 变换研究该算符的起源，该变换在动量空间中作用于实时形式 \cite{takahashi,umezawa,pushpa} 中场的双重空间。我们展示了 ($2\times 2$) Bogoliubov 变换矩阵如何自然导出 $\sigma=0,1$ 的标量热算符，而对于任何其他值 $0<\sigma<1$ 则不成立。该分析还表明，即使在 $0<\sigma<1$ 时，混合空间中的广义标量热算符描述也是可能的。我们还展示了动量空间中标量热算符关系的存在。