态射的爆破与纤维

我们的研究对象是由射影 s-1 空间的齐次坐标环 R=k[x1,...,xs] 中同次数 d 的齐次形式 g1,...,gn 定义的从射影 s-1 空间到射影 n-1 空间的有理映射 Psi。我们的目标是关联 Psi 的性质、由 Psi 参数化的簇的齐次坐标环 A=k[g1,...,gn] 的性质，以及 Psi 图像的双齐次坐标环即 Rees 代数 R[It] 的性质。例如对于正则映射 Psi，我们证明 R[It] 满足 Serre 条件 R_i（对于某个正整数 i）当且仅当 A 满足 R_{i-1} 且 Psi 在其图像上是双有理的。因此，特别地，Psi 在其图像上是双有理的当且仅当 R[It] 满足 R_1。任一条件都对核（core）的形状具有推论，即 I 的核是 I 的乘子理想的 s 次幂，且 I 的核等于 R 的极大齐次理想的 sd-s+1 次幂。反之，当 s 等于 2 时，关于核的任一等式均蕴含双有理性。此外，借助 g1,...,gn 的 syzygy 矩阵的广义行，我们给出了一种显式方法，用于在 s 等于 2 时将非双有理情形归约为双有理情形。