嵌入 Sierpiński 垫片分形的块空间 GPU 映射

本文研究了嵌入在 $n \times n$ 离散欧几里得空间中的 Sierpiński 垫片分形的 GPU 线程映射问题。提出了一种块空间映射 $\lambda: \mathbb{Z}_{\mathbb{E}}^{2} \mapsto \mathbb{Z}_{\mathbb{F}}^{2}$，从欧几里得并行空间 $\mathbb{E}$ 映射到嵌入分形空间 $\mathbb{F}$，该映射在 $\mathcal{O}(\log_2 \log_2(n))$ 时间内完成，且使用的线程数不超过 $\mathcal{O}(n^\mathbb{H})$，其中 $\mathbb{H} \approx 1.58...$ 为 Hausdorff 维数，从而使其具有高效的并行空间利用率。与包围盒映射相比，$\lambda(\omega)$ 在并行空间上提供了亚指数级的改进，并在 $n > n_0$ 时产生单调递增的加速比。实验性能测试表明，在实践中，一旦 $n > n_0 = 2^8$，$\lambda(\omega)$ 在任意块大小下均可产生性能提升，在最优块配置下，当 $n=2^{16}$ 时加速比可达约 $10\times$。