生日不等式、排斥与硬球

我们研究随机几何图中的生日不等式：空图的概率以各边缺失概率的乘积为上界。我们证明生日不等式在低密度下成立，但一般而言不成立。我们给出生日不等式在统计物理和组合学中的三种不同应用：证明了硬球模型自由能的下界，以及 d-正则图中给定大小的独立集和匹配数量的上界。生日不等式可由一个排斥不等式推出：若在 n 个随机放置的中心点两两距离大于 r 的条件下，这些中心周围半径为 r 的球体并集的期望体积会增大。令人惊讶的是，我们证明排斥不等式一般而言不成立，特别是在 24 维欧几里得空间中失效：对 24 维球体中心的两两排斥进行条件限制，反而可能减小其并集的期望体积。