生日重复定理与稠密约束满足问题近似的复杂性

双人证明者博弈 $\mathcal{G}$ 的 $(k \times l)$-生日重复 $\mathcal{G}^{k \times l}$ 是一种博弈，其中两个证明者分别收到来自 $\mathcal{G}$ 的大小为 $k$ 和 $l$ 的随机问题集合。这两个集合是在所有特定大小的问题集合中独立均匀采样的。我们证明如下生日重复定理：当 $\mathcal{G}$ 满足某些温和条件时，$val(\mathcal{G}^{k \times l})$ 以 $\Omega(kl/n)$ 的指数速度下降，其中 $n$ 为问题总数。我们的结果正面解决了 Aaronson、Impagliazzo 和 Moshkovitz (CCC 2014) 提出的一个开放问题。作为生日重复定理的应用，我们获得了稠密约束满足问题(CSP)近似的新细粒度困难性结果。具体地，通过给出条件下界、整数间隙和近似算法，我们建立了稠密CSP在运行时间与近似比之间的紧权衡。特别地，对任意足够大的 $i$ 和每个 $k \geq 2$，我们展示以下结果： - 我们通过 $O_k(i)$ 层 Sherali-Adams 松弛，给出了字母表大小 $q$ 的稠密 Max $k$-CSP 的一个 $O(q^{1/i})$-近似算法。 - 通过我们的生日重复定理，我们对完全稠密 Max $k$-CSP 的 $\tilde\Omega_k(i)$ 层 Lasserre 松弛获得了 $q^{1/i}$ 的整数间隙。 - 假设存在常数 $\epsilon > 0$ 使得 Max 3SAT 不能在亚指数时间内被近似到最优解的 $(1-\epsilon)$ 以内，我们的生日重复定理意味着任何将完全稠密 Max $k$-CSP 近似到 $q^{1/i}$ 因子的算法需要 $(nq)^{\tilde \Omega_k(i)}$ 时间，几乎紧地匹配了基于 Sherali-Adams 松弛的算法结果。