无平方因子水平的双椭圆模曲线 $X_0^*(N)$

设 $N\geq 1$ 为无平方因子整数，使得模曲线 $X_0^*(N)$ 的亏格 $\geq 2$。我们证明 $X_0^*(N)$ 恰对 $19$ 个 $N$ 值为双椭圆，并确定了这些双椭圆曲线的自同构群。特别地，我们得到了当 $X_0^*(N)$ 亏格 $\geq 3$ 时非平凡 $Aut(X_0^*(N))$ 的首批例子。此外，我们证明对于亏格 $\geq 2$ 且 $N$ 无平方因子的模曲线 $X_0^*(N)$，其在 $\mathbb{Q}$ 上的所有二次点集合非有限恰对 $51$ 个 $N$ 值成立。