多尺度平均场模型的偏差与精化

平均场近似是一种强有力的技术，已在多种场景下用于研究大规模随机系统。对于双时间尺度系统，该近似通过尺度论证与平均原理的结合获得。本文分析此“平均”平均场模型对双时间尺度模型 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的近似误差，其中慢分量 $\boldsymbol{X}$ 描述一群相互作用的粒子，其与快速变化的环境 $\boldsymbol{Y}$ 完全耦合。模型由尺度因子 $N$（如种群规模）参数化，当 $N$ 变大时，慢分量的跳跃步长减小，而快分量动力学不变。我们表明，在相对温和条件下，“平均”平均场近似相对于 $\mathbb{E}[\boldsymbol{X}]$ 具有 $O(1/N)$ 阶偏差。这在瞬态下任意连续性能度量均成立，若模型指数稳定则对稳态亦成立。为更进一步，我们推导了稳态的偏差修正项，并由此定义一种称为精化“平均”平均场近似的新近似，其偏差为 $O(1/N^2)$ 阶。该精化“平均”平均场近似即便在较小尺度因子（即 $N\approx 10 -50$）下也能计算准确近似。我们通过一个随机接入 CSMA 模型的应用阐释了所发展框架与精度结果。