梯度峡谷中牛顿多边形的双 Lipschitz 不变性

我们通过极弧和梯度峡谷研究全纯函数芽 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C},0)$ 的双 Lipschitz 右等价。对于极弧 $\gamma$，我们考虑 $f_x(X+\gamma(Y),Y)$ 的牛顿多边形，并通过添加点 $(0,\text{ord } f(\gamma(y),y)-1)$ 来定义其增广。我们证明，由此产生的增广牛顿多边形在次数 $>1$ 的每个梯度峡谷中是常数，并且在双 Lipschitz 右等价下保持不变。此外，其紧边分解为拓扑部分和 Lipschitz 部分：后者通过简单的截距关系编码了第二级 Henry-Parusi\'nski 型不变量。作为应用，我们引入了峡谷的极重数，并将其与增广多边形顶边的水平长度等同起来，从而得到一个新的离散双 Lipschitz 不变量。