$\beta$-星或关于连通子图绘制的扩展

我们考虑使用直线和多段线边将给定平面图的子图绘图扩展为整个图绘图的问题。我们定义了多边形的星复杂度的概念，并表明诱导连通子图 $H$ 的绘图 $\Gamma_H$ 可以扩展，每条边至多具有 $\min\{ h/2, \beta + \log_2(h) + 1\}$ 个弯折，其中 $\beta$ 是 $\Gamma_H$ 的某个面的最大星复杂度，$h$ 是 $H$ 的最大面的大小。该结果显著改进了先前已知的当 $H$ 连通时的 $72|V(H)|$ 上界 [5]。我们还表明我们的界在最坏情况下是最优的，直至一个小的加法常数。此外，我们给出了测试星型内面能否扩展为图的直线绘图的复杂性指示；这与星型外面 [9] 和凸内面 [13] 情况下同一问题可在线性时间内求解的事实形成对比。