三角形上的最佳多项式逼近

设 $E_n(f)_{\alpha,\beta,\gamma}$ 表示在三角形 $\{(x,y): x, y \ge 0, x+y \le 1\}$ 上空间 $L^2(\varpi_{\alpha,\beta,\gamma})$ 中次数至多为 $n$ 的多项式的最佳逼近误差，其中对于 $\alpha,\beta,\gamma > -1$，有 $\varpi_{\alpha,\beta,\gamma}(x,y) := x^\alpha y ^\beta (1-x-y)^\gamma$。我们的主要结果给出了 $E_n(f)_{\alpha,\beta,\gamma}$ 关于 $f$ 在适当 Sobolev 空间中的高阶导数最佳逼近误差的精确估计。该结果还导出了用加权 $K$-泛函对 $E_n(f)_{\alpha,\beta,\gamma}$ 的刻画。