随机系统的行为理论？从Willems到Wiener再回归的数据驱动之旅

Jan C. Willems及其合作者提出的基本引理深植于行为系统理论，已成为近期数据驱动控制与系统分析进展的支柱之一。这篇教程式论文结合了关于该引理的随机与描述符系统表述的最新见解，进一步扩展和拓宽了随机线性系统行为理论的正式基础。我们表明，级数展开——特别是可追溯到Norbert Wiener开创性工作的$L^2$随机变量的多项式混沌展开（PCE）——能够实现线性随机系统的等价行为刻画。具体而言，我们证明在温和假设下，$L^2$随机变量动力学的行为等价于级数展开系数动力学的行为，且它蕴含由采样实现轨迹构成的行为。我们也阐明了与时间演化统计矩相关行为的缺陷。本文终于给出了线性（描述符）系统的随机基本引理表述，这进而实现了将数据驱动随机最优控制的可数值处理表述与实现数据（即测量值）中的Hankel矩阵同PCE概念相结合。