在紧区间上具庞加莱不等式的 $H^1(\mu)$ 的贝叶斯求积

受复杂系统不确定性量化的推动，我们旨在寻找形如 $\int_a^b f(x) d\mu(x) = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$ 的求积公式，其中 $f$ 属于 $H^1(\mu)$。这里，$\mu$ 属于 $[a, b] \subset \mathbb{R}$ 上一类连续概率分布，且 $\sum_{i=1}^n w_i \delta_{x_i}$ 是 $[a, b]$ 上的离散概率分布。我们证明 $H^1(\mu)$ 是一个具有连续核 $K$ 的再生核希尔伯特空间，这使得可将求积问题重新表述为贝叶斯（或核）求积问题。尽管 $K$ 一般没有简单的闭式表达，我们建立了其谱分解与庞加莱不等式相关谱分解之间的对应，它们的公共特征函数构成了一个 $T$-系统（Karlin and Studden, 1966）。求积问题于是可在由前几个特征函数张成的有限维代理空间中求解。该解由一种广义高斯求积给出，我们称之为庞加莱求积。我们推导了庞加莱求积权重及关联最坏情况误差的若干结果。当 $\mu$ 为均匀分布时，结果是显式的：庞加莱求积等价于中点（矩形）求积法则。其节点与某特征函数的零点重合，且对大 $n$ 最坏情况误差按 $\frac{b-a}{2\sqrt{3}}n^{-1}$ 缩放。通过与 $H^1(0,1)$ 已知结果比较，这表明庞加莱求积渐近最优。对一般 $\mu$，我们提供了基于有限元和线性规划的高效数值过程。数值实验提供了有用见解：节点近乎均匀分布，权重接近节点处的概率密度，且对大 $n$ 最坏情况误差约为 $O(n^{-1})$。