损失的贝叶斯估计量与极小化极大估计量

我们研究了损失估计问题，该问题涉及对于可观测变量 $X \sim f_{\theta}$ 选择 $\gamma(\theta)$ 的第一阶段估计量 $\hat{\gamma}$、产生的损失 $L=L(\theta, \hat{\gamma})$，以及选择 $L$ 的第二阶段估计量 $\hat{L}$。我们考虑了两种情况： 序列版本，其中第一阶段估计和损失是固定的，优化在第二阶段进行； 同时版本，具有设计用于评估 $(\hat{\gamma}, \hat{L})$ 作为 $(\gamma, L)$ 估计量的 Rukhin 型损失函数。我们探索了各种贝叶斯解，并为情况 和 提供了极小化极大估计量。分析针对几种概率模型进行，包括 $\sigma^2$ 已知和未知的多元正态模型 $N_d(\theta, \sigma^2 I_d)$、Gamma 模型、一元和多元 Poisson 模型以及负二项式模型，并涉及第一阶段和第二阶段损失的不同选择。极小化极大结果是通过识别先验序列中的最不利先验获得的，并在关键程度上依赖于特定的贝叶斯解性质，即第二阶段估计量 $\hat{L}(x)$ 作为 $x$ 的函数为常数的情况。