带重新正交化的 Lanczos 双对角化的后向误差分析

$k$ 步 Lanczos 双对角化将矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 约化为双对角形式 $B_k\in\mathbb{R}^{(k+1)\times k}$，同时生成两个正交矩阵 $U_{k+1}\in\mathbb{R}^{m\times (k+1)}$ 与 $V_{k+1}\in\mathbb{R}^{n\times {(k+1)}}$。然而，该算法的任何实际实现都因舍入误差的存在而遭受 $U_{k+1}$ 与 $V_{k+1}$ 正交性丧失，并已提出若干重新正交化策略以维持一定程度的正交性。本文中，通过将各类重新正交化策略写成统一形式，我们对带重新正交化的 Lanczos 双对角化（LBRO）进行后向误差分析。我们的结果表明，以起始向量 $b$ 对 $A$ 作 $k$ 步 LBRO 所算得的 $B_k$ 是由 $A+E$ 以起始向量 $b+\delta_{b}$ 作 $k$ 步 Lanczos 双对角化（记为 LB($A+E,b+\delta_{b}$)）生成的精确结果，其中扰动向量/矩阵 $\delta_{b}$ 与 $E$ 的 2-范数依赖于舍入单位以及 $U_{k+1}$ 与 $V_{k+1}$ 的正交性水平。结果还表明，$U_{k+1}-\bar{U}_{k+1}$ 与 $V_{k+1}-\bar{V}_{k+1}$ 的 2-范数分别受 $U_{k+1}$ 与 $V_{k+1}$ 的正交性水平控制，其中 $\bar{U}_{k+1}$ 与 $\bar{V}_{k+1}$ 是在精确算术下由 $k$ 步 LB($A+E,b+\delta_{b}$) 生成的两个正交矩阵。因此，只要 $U_{k+1}$ 与 $V_{k+1}$ 的正交性足够好，$k$ 步 LBRO 便是混合前向-后向稳定的。我们利用该结果考察了基于 LBRO 的 SVD 计算算法与 LSQR 算法的后向稳定性。数值实验证实了我们的结果。