利用 Lanczos 方法计算 $\mathrm{tr}(f(A))$ 的后验误差估计

利用 Krylov 方法计算矩阵函数 $f(A)$ 时，一个悬而未决的问题是在收敛缓慢时准确估计误差。除指数函数在过去已被广泛研究外，该问题尚无成熟的解决方案。应用中感兴趣的往往不是矩阵 $f(A)$ 本身，而是矩阵-向量乘积或双线性形式。当与 $f(A)$ 相关的计算是更大规模问题的组成部分（例如近似计算其迹）时，缺乏可靠误差估计的后果是计算结果精度未知。本文考虑利用 Lanczos 方法计算对称正定矩阵 $A$ 的 $\mathrm{tr}(f(A))$，并作出两点贡献：（i）提出与 $f(A)$ 相关的双线性形式的误差估计；（ii）提出 $f(A)$ 的迹的误差估计。我们针对大型矩阵展示了这些估计的实用价值，尤其表明迹误差估计能指示准确数字位数。作为一个应用，我们在高斯过程分析中计算协方差矩阵的对数行列式，并强调误差容限作为停止准则的重要性，以此界定达到所需精度所需的 Lanczos 步数。