一种用于固定精度低秩矩阵近似的分块双对角化方法

我们提出 randUBV，一种基于分块 Lanzcos 双对角化过程的随机矩阵草图算法。给定矩阵 $\bf{A}$，它产生形式为 ${\bf UBV}^T$ 的低秩近似，其中在精确算术下 $\bf{U}$ 和 $\bf{V}$ 具有标准正交列，且 $\bf{B}$ 为分块双对角。在有限精度下，$\bf{U}$ 和 $\bf{V}$ 的列均接近标准正交。我们的算法与 Yu、Gu 和 Li (2018) 的 randQB 算法密切相关，因为 $\bf{B}$ 的条目是增量生成的，且 Frobenius 范数近似误差可被高效估计。因此我们的算法适用于固定精度问题，并设计为一旦达到用户输入的误差容限即终止。数值实验表明，即便 $\bf{A}$ 具有显著的奇异值簇，分块 Lanczos 方法通常可与使用幂迭代的算法竞争或优于之。