地球物理中的 Backus 问题：分数阶 Sobolev 空间中偶极子附近的解
偏微分方程分析
2021-08-30 v1
摘要
我们考虑地球物理中的 Backus 问题。其内容为：当在地球表面测得相关场的强度时，重构地球外部的调和势。因此，边界条件是（严重）非线性的。重力情形已被较好理解，它是在单极子（即点质量生成的势）附近的局部解。本文考虑地磁情形，即在所谓偶极子（刻画磁体无旋势的调和函数）附近对场强进行线性化。该问题相当困难，因为线性化问题对应的求解算子通常是无界的。事实上，此框架下 Backus 问题的存在性结果在文献中尚属空白。本文在轴对称情形下局部求解地磁版 Backus 问题。用数学语言表述，我们证明了球外部调和函数的存在性，其给定的（边界）场强充分接近偶极子场强，且具与偶极子相同的轴对称性。我们还证明，通过规定势在该球赤道圆上的平均值可选出唯一解。我们将这些解表示为球谐函数级数。函数框架涉及球上分数阶 Sobolev Hilbert 空间的使用，并赋予谱范数。一个关键要素是适当子空间的代数结构。
引用
@article{arxiv.2108.12077,
title = {Backus problem in geophysics: a resolution near the dipole in fractional Sobolev spaces},
author = {Toru Kan and Rolando Magnanini and Michiaki Onodera},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.12077},
year = {2021}
}