沿平方整数序列的平均：\ell^p 改进与稀疏不等式

设 $f\in \ell^2(\mathbb Z)$。通过 $A_N f(x):=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f(x+k^2)$ 定义 $f$ 在平方整数上的平均。我们证明对于 $3/2 < p \leq 2$，$A_N$ 满足一个局部无尺度 $\ell ^{p}$ 改进估计：\begin{equation*} N ^{-2/p'} \lVert A_N f \rVert _{ p'} \lesssim N ^{-2/p} \lVert f\rVert _{\ell ^{p}}, \end{equation*} 其中假设 $f$ 支撑于某个长度为 $N ^2$ 的区间，且 $p' =\frac{p} {p-1}$ 为共轭指数。上述不等式在 $1< p < 3/2$ 时不成立。极大函数 $A f = \sup _{N\geq 1} |A_Nf|$ 满足类似的稀疏界。由此得到 $A$ 的新的加权与向量值不等式。证明中的一个关键步骤需要控制关于 $q$ 的对数平均，其中函数 $G(q,x)$ 计数 $x$ 模 $q$ 的平方根个数。人们需要一个关于 $x$ 一致的估计。