基于除数函数的平均: $\ell^p$ 改进与稀疏界

我们利用除数函数$d(n)$研究沿整数的平均,其定义为 $$K_N f (x) = \frac{1}{D(N)} \sum _{n \leq N} d(n) \,f(x+n) ,$$ 其中$D(N) = \sum _{n=1} ^N d(n)$。我们将证明这些平均对$p \in (1,2)$满足一致的、无尺度的$\ell^p$改进估计,即 $$\left( \frac{1}{N} \sum |K_Nf|^{p'} \right)^{1/p'} \lesssim \left(\frac{1}{N} \sum |f|^p \right)^{1/p}$$ 只要$f$支撑于$[0,N]$。我们还证明相关的极大函数$K^*f = \sup_N |K_N f|$对$p \in (1,2)$满足$(p,p)$稀疏界,这意味着$K^*$在$\ell ^p (w)$上有界,其中$p \in (1, \infty )$,$w$为Muckenhoupt $A_p$类中的所有权函数。