几乎可解群的直积的自同态与单射

本文研究了由有限生成的几乎可解 minimax 群的直积 $\Gamma=\Gamma_1\times\cdots\times\Gamma_r$ 的自同态与单射. 在 $\mathbb Q$-代数包络的不可分解性假设下, 我们证明每个单射唯一分解为 $\varphi=\theta\cdot\zeta$, 其中 $\theta$ 将每个因子映射到等价的 permuted factor 且 $\mathbb Q$-同构, $\zeta$ 为中心且偏对角. 当然, 每对此类单射均定义为 $\Gamma$ 的单射, 当且仅当 $\theta$ 为自同态时, $\varphi$ 才为自同态. 本不可分解性假设是尖锐的: 我们展示它不能简化为因子的直接不可分解性. 证明分为三步: 首先建立有限维 Lie 代数和代数 Lie 代数的相应中心混合性质, 然后推广至连通线性代数群, 最后通过 $\mathbb Q$-代数包络将这些结果转移至 minimax 群. 这扩展了之前已知的 nilpotent 情况, 从自同态扩展至单射, 从有限生成无 torsion-free nilpotent 群扩展至更广泛的有限生成几乎可解 minimax 群类. 作为应用, 我们刻画了共-Hopfian 直积, 并给出 Reidemeister 数与 Reidemeister 谱的公式.