带度数限制的标号树的自动计数与统计分析
组合数学
2022-02-22 v2 概率论
摘要
Arthur Cayley 著名地证明了 n 个顶点上有 n^{n-2} 棵标号树。在此我们走得更远，展示了如何完全自动地枚举满足如下条件的标号树：每个顶点具有属于某个指定有限集合的邻居数，并且也计数那些邻居数不被允许属于给定有限集合的树。我们还给出了详细的统计分析，并表明在 n 个顶点的标号树样本空间中，随机变量“具有 d 个邻居的顶点数”是渐近正态的，并且对于任意不同的度数，它们是联合渐近正态的，但当然不是独立的（除了数对 (1,3)，即叶节点数与 3 度顶点数，它们是渐近独立的）。我们还给出了 Amram Meir 和 John Noon 关于这些量的极限期望与方差表达式的新证明，并推导了协方差的显式表达式。
引用
@article{arxiv.2201.07326,
title = {Automated Counting and Statistical Analysis of Labeled Trees with Degree Restrictions},
author = {Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.07326},
year = {2022}
}
备注
5 pages. Exclusively published in the Personal Journal of Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger and this arxiv. Accompanied by a Maple package, and extensive output files available from https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/etsim.html . This version adds references to previous work of A. Meir and J. W. Moon