$\mathbb N^*$ 原像的自同胚

在对实直线的Stone-Čech余紧化的研究中，经常利用空间$\mathbb N\times [0,1]$（我们记为$\mathbb M$）的Stone-Čech余紧化的详细研究。当然，实直线可以被两个各自同胚于$\mathbb M$的闭集覆盖。已知$\mathbb M^*$的一个自同胚会诱导出$\mathbb N^*$的一个自同胚。我们证明，在$\mathbb N^*$存在非平凡自同胚的情况下，由$\mathbb M^*$的自同胚诱导出的那些自同胚是平凡的，这一结论与集合论公理是一致的。