高维独立性 Rao 得分检验的渐近功效

设 ${\bf R}$ 为 $m$ 个正态随机变量的 Pearson 相关矩阵。Rao 得分检验对于独立性假设 $H_0 : {\bf R} = {\bf I}_m$（其中 ${\bf I}_m$ 为 $m$ 维单位矩阵）的高维设定首次由 Schott (2005) 考虑。本文研究该检验的渐近极小极大功效函数，在一个渐近机制下，其中 $m$ 和样本量 $n$ 均趋于无穷且比值 $m/n$ 以常数为上界。特别地，我们的结果意味着 Rao 得分检验对于检测阶为 $\sqrt{m/n}$ 的依赖信号 $\|{\bf R} - {\bf I}_m\|_F$（其中 $\|\cdot\|_F$ 为矩阵 Frobenius 范数）是速率最优的。